В данной статье мы ставим целью вывести из простых соотношений массы кварков и лептонов (не нейтрино, массы нейтрино не известны точно). Зато для оставшихся 9 чисел вы потребуем точность в процент — при том, что они отличаются на пять порядков. И да, в чем то это нумерология. Но формула Койде тоже нумерология… Поехали!
1. Изменение массы с энергией (running)
Собственно, если вы обратитесь к первому же доступному источнику чтобы взять массы кварков, не прочитав мелкий шрифт, то у меня плохие новости — в этом нет никакого смысла. Дело в том, что массы меняются (run) при разных уровнях энергии процессов, в которых частицы участвуют.
Для некоторых частиц (например, для электрона) можно получить pole mass при энергии, стремящейся к нулю. Для кварков по ряду сложных причин это невозможно, и pole mass не определена. Поэтому для разных кварков выбирают разные значения энергии, при которых измеряют их массу (MS mass).
Жирными точками показаны энергии, при которых «измерены» канонические массы кварков. Как видно, попугаи везде разные. Обе шкалы логарифмические, так что пусть вас не вводит в заблуждение небольшой наклон кривых — массы меняются очень существенно.
Также выше уровня электрослабого взаимодействия (показано пунктиром) все частицы становятся безмассовыми (если вакуум тоже теплый, если нет то масса остается, но практически не играет роли при высоких энергиях). Так как мы именно с высокими энергиями и будем работать, то под «массами» мы будем иметь в виду сингулярные значения матриц Yukawa. Масса M получается так из значения матрицы Y:
То есть масса прямо пропорциональна Y, поэтому мы будем часто называть Y «массой», работая с высокими энергиями, где частицы уже массы лишены.
2. Первый взгляд на массы кварков
Сразу видно, что три поколения образуют приблизительно геометрическую прогрессию, которая при на логарифмической шкале выглядит как прямая. Коэффициент прогрессии у верхних кварков больше, чем у лептонов и нижних кварков. Если думать о геометрической прогрессии, то c слишком тяжел, s слишком легок, мюон снова слишком тяжел, а в первом поколении u и d переставлены местами: нижний кварк тяжелее верхнего. В общем, порядок какой то есть, но кругом мелкие нарушения.
Кстати, а что делают в главе про кварки лептоны? Скажем так: есть сильное подозрение, что лептоны — хорошо законспирированные кварки (теория Пати Салама)
3. Формулы Койде и Georgi-Jarlskog (GJ)
Есть две серьезные попытки найти порядок в этих массах. Первая — это формула Койде
Для pole mass формула выполняется очень точно, K = 0.6666645, Для высоких энергий все плывет, но массы плывут почти синхронно, поэтому само соотношение нарушается, к счастью, не так сильно. При E = 10**6 Gev получаем K = 0.667835, что дает ошибку всего 0.175%, что нас удовлетворяет
Второй набор соотношений — GJ, может показаться странным:
При взгляде на знакомые нам значения масс эти значения далеки от правды но — при высоких энергиях они становятся справедливыми:
То есть при малых энергиях ошибка может быть двухкратной, но при очень высоких энергиях (а они в квантовой механике более «фундаментальны», так как частицы «оголяются» и нарушенные симметрии восстанавливаются) соотношения GJ начинают работать, и мы считаем этот факт очень важным.
Поэтому мы дальше будем работать со значениями кварков и лептонов, зафиксированных в момент, где для данного поколения точно выполняется GJ. То есть для разных энергий для разных поколений (и вы имеете право сказать, что это трюк) — и, тем не менее, этот выбор кажется физически оправданным. GJ явно (из-за своей простоты) имеет фундаментальные корни, но что-то искажает эти простые правила. Мы, таким образом, защищаемся от этого неизвестного фактора.
Конкретные значения:
Поколение
Энергия, Gev
верхние кварки
нижние кварки
лептоны
1
1.337E9
4.182E-6
9.008E-6
3.00267E-6
2
4.244E6
2.395E-3
2.0608E-4
6.242E-4
3
3.143E6
0.6658
0.01049
0.01049
4. Вывод коэффициента прогрессии
Мы предполагаем, что массы имеют вид:
То есть массы увеличиваются по степенному ряду с коэффициентом r. Понятно, что подбор подходящих X,Y,Z может дать любые значения, но мы потребуем чтобы эти числа были красивыми — в смысле не числами типа 3445/5595, а 4/5, 1/2 итд. Более того, мы потребуем, чтобы r был одинаковым для верхних, нижних кварков и для лептонов. Обратите внимание, что массы отличаются на 6 порядков, и совпадение до процента — это большой успех.
Теперь нам надо найти r. Уравнение Койде не фиксирует r, а CJ дает лишь отношение между нижними кварками и лептонами. Для определения r нам понадобятся отношения между массами 3 поколения и первого
Вывод можно пропустить
Определим r по поколениям 1 и 3, и введем k:
Пусть e=1, mu=q и tau=z:
Решая относительно корня из z
Получаем
То есть r = 34.1298
5. Нормализованный спектр и первые формулы
Вернемся к GJ: в поколениях 1 и 2 одна из частиц тяжелее другой в три раза, и лишь в 3 поколении массы равны. Определим «нормализованные» массы как корень из произведения:
Тогда массы верхних кварков — это одна из самых красивых формул
С ошибками: −0.52923%, +0.29241%, +0.83107% .
Интересно что если (u,c,t)=(An1, Bn2, Cn3), то C=12AB. Красиво.
Обратите внимание, что для быстрорастущей иерархии верхних кварков используется такой же коэффициент пропорциональности между поколениями r, а более быстрый рост обеспечивается коэффициентом 64 (тоже круглое число во многих смыслах).
Соотношения масс можно выразить как (здесь исчезают нормализованные величины, они больше не нужны):
Не используя нормализованные значения, мы можем переписать, используя r=34.1297874117, k=0.676768996804 и a=9.00802154701×10^-6 (a это показатель масштаба):
Предположив дополнительно, что k=2/3, и заметив, что a=d, получим:
Это выглядит достаточно красиво, а максимальная ошибка составляет полтора процента.
6. Альтернативный подход — от старших поколений
Мы сформулировали наши формулы в парадигме — вот легкое поколение, а вот эти коэффициенты делают старшие поколения тяжелее. Но можно подойти с другой стороны — младшие поколения тормозятся неким эффектом силы epsilon.
Используя общий коэффициент для лептонов и нижних кварков но вводя отдельный коэффициент для верхних:
и полагая k=2/3 получим:
Первый коэффициент отличается от 1/2 на долю процента, а B = tau = b:
7. Дополнительные соотношения
Вычислим значения v3*v1/v2/v2, независимо для кварков и лептонов. Наши формулы дают:
(подобные отношения, правда для других энергий, уже изучались, например, u/d=4/9 [11]), bd/s^2 один раз проскакивало в литературе [12].
Все эти выражение выполняются с ошибкой -3%. То есть, если Z=0.97 то
Выполняются почти точно. Не зная, что вызывает появление фактора Z, можно построить выражение, где он сокращается:
выполняется с точностью +0.05283% , это абсолютно новый и интересный результат.
Правда, R также «плывет» с изменением энергии, и точное равенство достигается при 1.6E6 Gev.
8. Углы CKM
Исторически эти углы связываются с отношениями масс:
Мы не вводим здесь ничего нового, но данный формализм может дать точные значения:
9. Почему это может быть важно
В этом действительно больше от нумерологии, чем от физики. Тем не менее, есть две глобальные возможности: у нашего мира куча непонятно откуда взявшихся безразмерных констант, и нам не дано понять, почему они такие — ну, разве что, ссылаться на «антропный принцип», а так говорить что «ну да, теория суперструн, у нас реализовался один из 10**500 вариантов вакуума с такими свойствами.
Второй вариант — что значения не случайны. И эта работа имеет целью дать надежду, что они не случайны.
Cсылки
[1] Y. Koide, “New view of quark and lepton mass hierarchy,” Phys. Rev. D 28 (1983) 252. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.28.252 .
[2] H. Georgi and C. Jarlskog, “A new lepton-quark mass relation in a unified theory,” Phys. Lett. B 86 (1979) 297–300. https://doi.org/10.1016/0370-2693(79)90842-6 .
[3] L. J. Hall, C. A. Manzari and C. Murgui, “A Low Scale for Quark-Lepton Unification,” arXiv:2610.33152 (23 October 2026). https://arxiv.org/abs/2610.33152 .
[4] M. E. Machacek and M. T. Vaughn, “Two-loop renormalization group equations in a general quantum field theory (II). Yukawa couplings,” Nucl. Phys. B 236 (1984) 221–232. https://doi.org/10.1016/0550-3213(84)90533-9 .
[5] D. Buttazzo et al., “Investigating the near-criticality of the Higgs boson,” JHEP 12 (2013) 089. https://doi.org/10.1007/JHEP12(2013)089 .
[6] Z.-z. Xing, H. Zhang and S. Zhou, “Updated values of running quark and lepton masses,” Phys. Rev. D 77 (2008) 113016, arXiv:0712.1419. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.77.113016 .
[7] S. Antusch, K. Hinze and S. Saad, “Updated Running Quark and Lepton Parameters at Various Scales,” arXiv:2510.01312; journal DOI https://doi.org/10.1103/fdcc-ycph . https://arxiv.org/abs/2510.01312 .
[8] D. Ng, “QCD renormalization for the top-quark mass in a mass geometrical mean hierarchy,” arXiv:hep-ph/9204221 (1992). https://arxiv.org/abs/hep-ph/9204221 .
[9] R. Gatto, G. Sartori and M. Tonin, “Weak self-masses, Cabibbo angle, and broken SU2 × SU2,” Phys. Lett. B 28 (1968) 128–130. https://doi.org/10.1016/0370-2693(68)90150-0 .
[10] “Minimal texture of quark mass matrices and precision CKM measurements,” PTEP 2020, 013B06. https://academic.oup.com/ptep/article/2020/1/013B06/5717851 .
[11] T. P. Singh, “Why Do Elementary Particles Have Such Strange Mass Ratios?—The Importance of Quantum Gravity at Low Energies,” Physics 4 (2022), DOI https://doi.org/10.3390/physics4030063 .
[12] D. Toupin, “Decoding Reality: Physical Constants as Arithmetic Invariants,” public manuscript record https://philarchive.org/rec/TOUDRP
Источник: habr.com