В соцсетях ходит мнение, что такую задачу могут решить лишь единицы школьников, а взрослые и вовсе теряются. Проверим? Достаем лист бумаги — это не задача «в уме», а история про аккуратное рассуждение и логику.
Простая на вид задача по геометрии из советских олимпиад ставит в тупик и школьников, и взрослых. Проверьте, сможете ли вы найти углы прямоугольного треугольника, зная только его площадь и гипотенузу.
Условие задачи
Дан прямоугольный треугольник.Известно, что:
гипотенуза равна 4;
площадь равна 2.
Нужно найти острые углы этого треугольника.
В этой задаче важна не скорость, а аккуратность. Эта задача не на интуицию, а на последовательное рассуждение. Достаточно спокойно выписать условия, вспомнить базовые формулы и позволить математике сделать своё дело.
Попробуем разобраться вместе.
Решение
Шаг первый. Обозначим катеты треугольника через a и b. Начнем с формулы площади прямоугольного треугольника. Площадь равна половине произведения катетов. По условию она равна 2, следовательно, произведение катетов равно 4.
Шаг второй. Далее используем теорему Пифагора. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Поскольку гипотенуза равна 4, получаем, что сумма квадратов катетов равна 16.
Шаг третий. Теперь у нас есть две ключевые величины: сумма квадратов катетов и их произведение. Этого достаточно, чтобы найти сами катеты. Рассмотрим квадрат разности катетов. Он равен сумме квадратов минус удвоенное произведение. Подставляя известные значения, получаем, что квадрат разности катетов равен 8, а сама разность по модулю равна 2√2.
Решая эту систему, приходим к значениям катетов: один из них равен √6 + √2, другой — √6 − √2. Порядок не принципиален, так как оба катета играют симметричную роль.
Источник: hi-tech.mail.ru